Question

如图，四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的直观图（图1）和三视图（图2），底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，M、N分别为A₁D₁、AD的中点．
（Ⅰ）由三视图判断平面AA₁D₁D与平面ABCD的位置关系（只需作出判断）
（Ⅱ）求证：BC⊥平面MNBB₁，
（Ⅲ）求二面角A₁-AB-D的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三视图直接判断平面AA₁D₁D与平面ABCD的位置即可．
（Ⅱ）直接利用平面与平面的垂直，说明直线与平面垂直，然后利用直线与平面的判定定理证明BC⊥平面MNBB₁，
（Ⅲ）利用三垂线定理作出二面角的平面角，通过在天津求出有关数据，然后求解二面角A₁-AB-D的正切值．

解答：解：（Ⅰ）由俯视图可知，侧面AA₁D₁D在底面的射影是一条线段，
所以平面AA₁D₁D与平面ABCD垂直．
（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，
M、N分别为A₁D₁、AD的中点．
所以NB⊥AD，则NB⊥BC，
由（Ⅰ）可知平面AA₁D₁D⊥平面ABCD，
所以N₁N⊥平面ABCD，BC?平面ABCD垂直，
所以BC⊥N₁N，又N₁N∩NB=N，
所以BC⊥平面MNBB₁
（Ⅲ）过A₁作A₁O⊥平面ABCD于O，过O作OP⊥AB于P，
连结A₁P，由三垂线定理可知，∠A₁PO为二面角A₁-AB-D的平面角，
底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，M、N分别为A₁D₁、AD的中点．
所以AO=

1

2

，OP=

3

4

，所以所求二面角的正切值为：

1 2

3 4

=

2 3

3

．

点评：本题考查三视图的应用，直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查计算能力，空间想象能力．