Question

直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（8，0），动点M（x，y）满足

MO

•

ME

=x²，
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过定点F（2，0）作互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值；
（3）定点P（2，4），动点A，B是轨迹C上的三个点，且满足K_PA•K_PB=8试问AB所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x²，由此能导出点M的轨迹方程；
（2）由题设条件知直线l₁，l₂的斜率都存在，且不为0，设MN的方程为y=k（x-2），与y²=8x联立，得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由抛物线定义知：|MN|=x1+x2+4=

8(k2+1)

k2

，RQ的方程为y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8(k2+1)，由此能求出四边形MRNQ面积的最小值．
（3）设A（

y12

8

，y1），B(

y22

8

，y2)，（y₁≠y₂），则kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，kPA•kPB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0，由此知，直线AB过定点（1，-4）．

解答：解：（1）由题意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x²，
∴y²=8x为点M的轨迹方程；
（2）由题设条件知直线l₁，l₂的斜率都存在，且不为0，
设MN的方程为y=k（x-2），与y²=8x联立，得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，
由抛物线定义知：|MN|=x1+x2+4=

8(k2+1)

k2

，
同理，RQ的方程为y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8(k2+1)，
∴SMRNQ=

1

2

|MN||RQ|=32×

(k2+1)2

k2

=32(k2+

1

k2

+2)≥32(2+2)=128，
当且仅当k²=1，k=±1时，取“=”号，故四边形MRNQ面积的最小值为128．
（3）设A（

y12

8

，y1），B(

y22

8

，y2)，（y₁≠y₂），
则kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，
∴kPA•kPB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0…①
lAB：y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，
∴y=

8

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∴y₁y₂-（y₁+y₂）y+8x=0，
与①比较知，直线AB过定点（1，-4）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识和均值不等式的灵活运用，解题时要注意合理地进行等价转化．