Question

给出下列命题，其中正确命题的序号是           （填序号）。

（1）已知椭圆两焦点为，则椭圆上存在六个不同点,使得为直角三角形；

（2）已知直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于两点，则的最小值为2；

（3）若过双曲线的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，则；

（4）已知⊙⊙则这两圆恰有2条公切线。

 

Answer 1

【答案】

（ 1） （ 3）（ 4）

【解析】

试题分析：椭圆的两个焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），当F₁M垂直于x 轴时，这样的点M有2个． 当MF₂垂直于x 轴时，这样的点M有2个．当∠F₁MF₂  为直角时，点M恰是椭圆短轴的端点（0，，2），这样的点M有2个，综上，这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形，故①正确．

因为过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为抛物线的通径2p，由抛物线y=2x²的方程即x²=y 知，p=，2p=，则|AB|的最小值为，故②不正确．

因为双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线的方程 y=，故垂线方程为 y-0=-（x-c），它与渐近线 y= 的交点M（），所以MO=a，故③正确．

因为⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圆心为（-1，0），半径等于1的圆；⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圆心为（0，-1），半径等于的圆．两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线有2条，故④正确．

故答案为：①③④．

考点：椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；圆与圆的位置关系。

点评：掌握圆锥曲线的性质是解题的前提，灵活应用圆锥曲线的性质是解题的关键。属于中档题。