Question

（1）若，求x；
（2）若函数对应的图象记为C
（I）求曲线C在A（1，3）处的切线方程？
（II）若直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，求所有这样直线l的方程？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据两个向量平行的坐标表示，列出关于x的方程，解之即可得到实数x的值；
（2）由向量数量积的坐标表示，得y=f（x）=x²•x+1×2=x³+2
（I）求出导数f'（x）在x=3处的函数值，即得切线的斜率，再用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到曲线C在A（1，3）处的切线方程；
（II）设切点坐标P（t，t³+2），得曲线C在点P处的切线方程为y=3t²x-2t³+2．将此切线方程与y=f（x）联解，所得方程有唯一实数根，可得t=0．由此即可得到
解答：解：（1）∵，且
∴x²•1=2•x，解之得x=0或2
（2）=x²•x+1×2=x³+2
（I）对f（x）求导数，得f'（x）=3x²，
∴曲线C：y=f（x）在A（1，3）处切线的斜率k=f'（1）=3
结合直线的点斜式方程，得切线方程是y-3=3（x-1），即y=3x．
（II）设切点坐标P（t，t³+2），得在点P处切线的斜率k=f'（t）=3t²．
∴曲线C在点P处的切线方程为y-（t³+2）=3t²（x-t），即y=3t²x-2t³+2
由得3t²x-2t³+2=x³+2，即x³-3t²x+2t³=0
∴（x-t）²（x+2t）=0，
因为切线与曲线C有且仅有一条一个公共点，所以只有t=0时以上方程有相等的实数根，此时l方程为y=2
∴存在直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，此时切线方程为y=2．
点评：本题以向量的坐标运算为载体，求三次多项式函数图象的切线问题，着重考查了平面向量的坐标表示和利用导数研究曲线的切线等知识，属于中档题．