Question

在△ABC中，若它的内切圆半径为r，周长为C，则它的面积S△ABC=

rC

2

．请写出在正四面体中类似的命题：

若四面体四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球的半径为R，则此四面体的体积为：V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R

．

Answer 1

分析：先用面积分割法，证明平面内的结论正确．然后将该命题推广到空间：若四面体四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球的半径为R，则此四面体的体积为：V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．接下来可以用体积分割的方法，类似地证明推广到空间中．

解答：解：若四面体四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球的半径为R，则此四面体的体积为V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
证明如下：
设四面体ABCD的内切球为球O，球O分别切面BCD、面ACD、面ABD、面ABC于E、F、G、H，
分别设S_△BCD、S_△ACD、S_△ABD、S_△ABC为S₁、S₂、S₃、S₄
∵球O切平面BCD于点E，
∴OE⊥平面BCD，三棱锥O-BCD的体积为V₁=

1

3

S_△BCD•OE=

1

3

S₁R，
同理可得：三棱锥O-BCD的体积为V₂=

1

3

S_△ACD•OF=

1

3

S₂R，三棱锥O-ABD的体积为V₃=

1

3

S_△ABD•OG=

1

3

S₃R，
三棱锥O-ABC的体积为V₄=

1

3

S_△ABC•OH=

1

3

S₄R
∴四面体ABCD的体积等于V=V₁+V₂+V₃+V₄=

1

3

S₁R+

1

3

S₂R+

1

3

S₃R+

1

3

S₄R=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
故答案为：四面体体积为V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R

点评：考查了三角形面积公式和锥体体积公式等知识点，以及用割补的方法求几何体体积的思想．