Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为

1

2

，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l，交y轴于点B、
（1）求椭圆的方程．
（2）试判断以AB为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意根据长轴长求得a，根据离心率求得c，进而根据a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．
（2）设点P（x₀，y₀），进而表示出直线l的方程，代入椭圆方程消去y，根据x=x₀是方程的两个相等实根，求得x₀与k的关系式，求得k的表达式，代入直线方程，令x=0，得到点B的坐标，表示出以AB为直径的圆的方程整理后令y=0求得x，进而求得圆恒过的点．

解答：解：（1）∵2a=4，

c

a

=

1

2

，∴a=2，c=1，b=

3

．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设点P（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠0），
直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀），代入

x2

4

+

y2

3

=1，
整理，得（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（y₀-kx₀）²-12=0．
∵x=x₀是方程的两个相等实根，
∴2x₀=-

8k(y0-kx0)

3+4k2

，解得k=-

3x0

4y0

．
∴直线l的方程为y-y₀=-

3x0

4y0

（x-x₀）．
令x=0，得点A的坐标为（0，

4y20+3x20

4y0

）．
又∵

x02

4

+

y02

3

=1，∴4y₀²+3x₀²=12．
∴点A的坐标为（0，

3

y0

）．
又直线l′的方程为y-y₀=

4y0

3x0

（x-x₀），
令x=0，得点B的坐标为（0，-

y0

3

）．
∴以AB为直径的圆的方程为x•x+（y-

3

y0

）•（y+

y0

3

）=0．整理，得x²+y²+（

y0

3

-

3

y0

）y-1=0．
令y=0，得x=±1，
∴以AB为直径的圆恒过定点（1，0）和（-1，0）．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及了椭圆的标准方程，椭圆与圆，椭圆与直线的关系，综合考查了学生对圆锥曲线知识的理解和运用．