Question

已知函数f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a＞0），记g（x）为f（x）的导函数，若f（x）在R上存在反函数，且b＞0，则

g(2)

g′(0)

的最小值为（　　）

• A．4
• B．

  5

  2

• C．2
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：求出原函数的导函数数g（x）=ax²+bx+c，根据f（x）在R上存在反函数，又由a＞0，可知导函数大于等于0恒成立，由判别式小于等于0得到a，b，c的关系，即c≥

b2

4a

，把

g(2)

g′(0)

求出后利用c≥

b2

4a

去掉c，然后利用基本不等式求其最小值．

解答：解：由函数f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a＞0），
得g（x）=f′（x）=ax²+bx+c （a＞0），
∵f（x）在R上存在反函数，∴g（x）≥0对于x∈（-∞，+∞）恒成立，
又函数g（x）的对称轴方程为x=-

b

2a

，且对应的图象开口向上，
∴g(-

b

2a

)=

4ac-b2

4a

≥0，即b²≤4ac．
∵a＞0，b＞0，∴c≥

b2

4a

．
由g（x）=ax²+bx+c，g′（x）=2ax+b．
∴

g(2)

g′(0)

=

4a+2b+c

b

=2+

4a+c

b

=2+

4a

b

+

c

b

≥2+

4a

b

+

b

4a

≥2+2

4a b • b 4a

=4．
∴

g(2)

g′(0)

的最小值为4．
故选：A．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、反函数及导数的运算，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．