Question

已知三棱锥D-ABC，D₁为底面△ABC的重心，过A、B、C分别作DD₁的平行线分别交对面所在的平面于A₁，B₁，C₁点．（如，过A点作DD₁的平行线交BCD所在的平面于A₁点）
（1）证明：AA₁=3DD₁；
（2）若DA、DB、DC两两垂直，且DA=DB=4，DC=3，求三棱锥D₁-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

解：（1）∵点A₁是过A点作DD₁的平行线与BCD所在的平面的交点
∴设BC中点为E，连接A₁E，则点D必定在A₁E上
∵△ABC中，D₁为重心，∴AD₁=3D₁E
又∵△AA₁E中，DD₁∥AA₁，
∴==，可得AA₁=3DD₁；
（2）连接A₁B、A₁C
∵DA⊥DB，DA=DB=4，∴S_△ABD=×4×4=8
∵DC⊥DB，DC⊥DA，且DA∩DB=D
∴DC⊥平面ABD，可得V_D-ABC=V_C-ABD=×S_△ABD×CD=8
∴V_A1-ABC=3V_D-ABC=24
∵三棱锥D₁-A₁B₁C₁与三棱锥A₁-ABC等底等高
∴三棱锥D₁-A₁B₁C₁的体积V=24．
分析：（1）根据A₁是过A点作DD₁的平行线与BCD所在的平面的交点，可得BC中点E与A₁的连线必定经过点D，再在△AA₁E中利用平行线分线段成比例定理，结合重心的性质，可证出AA₁=3DD₁；
（2）利用线面垂直的判定不难得到DC⊥平面ABD，可得V_D-ABC=V_C-ABD=8，结合（1）的结论可得三棱锥A₁-ABC的体积是三棱锥D-ABC的三倍，得到V_A1-ABC=24，最后根据等底等高的两个三棱锥的体积相等，可求出三棱锥D₁-A₁B₁C₁的体积．
点评：本题给出特殊的三棱柱，叫我们证明线段的倍数关系并且求三棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定、平行线的性质和锥体的体积公式等知识，属于基础题．