Question

已知函数f(x)=loga

x-5

x+5

， (a＞0且a≠1)．
（I）  判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（II） 设g（x）=1+log_a（x-3），若方程f（x）=g（x）有实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）  先求出函数的定义域，然后利用函数的奇偶性的定义判断f（x）的奇偶性即可；
（II）通过g（x）=1+log_a（x-3），求出方程f（x）=g（x）的表达式，利用方程有实根，求出函数的定义域；
法一：求出方程中a的表达式，通过变形，利用基本不等式求出a的取值范围．
法二：转化方程为二次函数，通过二次方程根的分布，求出a取值范围．

解答：解：（I）由

x-5

x+5

＞0
所以函数的定义域为：（-∞，-5）∪（5，+∞）．…（2分）
又f(-x)=loga

-x-5

-x+5

=loga

x+5

x-5

=-loga

x-5

x+5

=-f(x)，
∴f（x）是奇函数．…（6分）
（II）若f（x）=g（x）有实根，即：loga

x-5

x+5

=1+loga(x-3)有实根．
∴

x-5 x+5 ＞0 x-3＞0

  ⇒x＞5．
∴即方程

x-5

x+5

=a(x-3)有大于5的实根…（10分）
（法1）a=

x-5

(x-3)(x+5)

=

(x-5)

(x-5+2)(x-5+10)

（∵x＞5）
=

x-5

(x-5)2+12(x-5)+20

=

1

(x-5)+ 20 (x-5) +12

≤

1

12+2 20

=

3- 5

16

∴a∈(0，

3- 5

16

]．…（16分）
（法2）（实根分布）

x-5

x+5

=a(x-3)（1）有大于5的实根，
方程（1）化为：ax²+（2a-1）x-15a+5=0．
∵a＞0，∴△=64a²-24a+1≥0．
①有一根大于5，f（5）＜0⇒a∈?．
②两根均大于5，

△≥0 f(5)＞0 1-2a 2a ＞5

    ⇒a∈(0，

3- 5

16

]．…（16分）

点评：本题是中档题，考查函数的奇偶性的判断，注意函数的定义域；函数的零点与方程的根的关系，考查计算能力，转化思想的应用．一定注意函数的定义域首先考虑的原则．