Question

已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

Answer 1

（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=

1

2

|MN|，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-4）²+y²=4²+x²，化为y²=8x．
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

y

21

=8x1，

y

22

=8x2．
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k_PB=-k_QB，
∴

y1

x1+1

=-

y2

x2+1

，∴

y1

y 21 8 +1

=

-y2

y 22 8 +1

，化为8+y₁y₂=0．
直线PQ的方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
∴y-y1=

y2-y1

y 22 8 - y 21 8

(x-x1)，化为y-y1=

8

y2+y1

(x-

y 21

8

)，
化为y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-

y

21

，
y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，则x=1，
∴直线PQ过 定点（1，0）