Question

若x≥1，y≥1，z≥1，xyz=10，且x^lgx•y^lgy•z^lgz≥10，则x+y+z=

12

．

Answer 1

分析：通过表达式x^lgx•y^lgy•z^lgz≥10两边取对数的运算，利用平方以及基本不等式，求出lgxlgy+lgylgz+lgzlgx≤0的条件，转化为所求结果x+y+z的值．

解答：解：lg（x^lgx•y^lgy•z^lgz）≥1⇒lg²x+lg²y+lg²z≥1
而lg²x+lg²y+lg²z=（lgx+lgy+lgz）²-2（lgxlgy+lgylgz+lgzlgx）
=[lg（xyz）]²-2（lgxlgy+lgylgz+lgzlgx）
=1-2（lgxlgy+lgylgz+lgzlgx）≥1
即lgxlgy+lgylgz+lgzlgx≤0，而lgx，lgy，lgz均不小于0
得lgxlgy+lgylgz+lgzlgx=0，
此时lgx=lgy=0，或lgy=lgz=0，或lgz=lgx=0，
得x=y=1，z=10，或y=z=1，x=10，或x=z=1，y=10
x+y+z=12．
故答案为：12．

点评：本题是中档题，考查指数与对数的基本性质，基本不等式的灵活运用，转化思想和计算能力，考查学生综合能力．