Question

【题目】函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的图象与y轴的交点为（0， ），它的一个对称中心是M（ ，0），点M与最近的一条对称轴的距离是 ．
（1）求此函数的解析式；
（2）求此函数取得最大值时x的取值集合；
（3）当x∈（0，π）时，求此函数的单调递增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的图象

的一个对称中心是M（ ，0），点M与最近的一条对称轴的距离是 ，故 ，

求得ω=2，φ= ．

再根据函数的图象与y轴的交点为（0， ），可得Asin（ω0+ ）= ，∴A=2，

函数f（x）=2sin（2x+ ）．

（2）解：令2x+ =2kπ+ ，求得 x=kπ+ ，k∈Z，故函数取得最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+ ，k∈Z}
（3）解：令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函数的增区间为[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z．

再结合x∈（0，π），可得函数的增区间为（0， ]、[ ，π）

【解析】（1）由函数的周期性、图象的对称性求出ω、φ的值，由特殊点的坐标求出A的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的最大值，求得函数取得最大值时x的取值集合．（3）利用正弦函数的调增区间，求得当x∈（0，π）时，此函数的单调递增区间．