Question

已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S R，求证：抛物线S R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．

Answer 1

分析：（1）设出P，Q的坐标，利用

HP

•

PM

=0求得a和b的关系，设出M的坐标，利用

PM

=-

3

2

MQ

，可求得x和y的表达式，消去b，进而求得x和y的关系式．
（2）设出A，S，R，则可表示SR的方程把点A代入SR，同时对曲线C的方程求导，判断出SR处的切线方程，最后联立方程求得ax-2y-2b=0判断出B点在直线．

解答：解：（1）设P（a，0），Q（0，b）则：

HP

•

PQ

=（a，3）（a，-b）=a²-3b=0
∴a²=3b
设M（x，y）∵

PM

=-

3

2

HQ

∴x=

a

1- 3 2

=-2a，y=

- 3 2 b

1- 3 2

=3b∴y=

1

4

x²
（2）设A（a，b），S（x₁，

1

4

x₁²），R（x₂，

1

4

x₂²），（x₁≠x₂）
则直线SR的方程为：y-

1

4

x₁²=

1 4 x22- 1 4 x12

x2-x1

（x-x₁），即4y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
∵A点在SR上，
∴4b=（x₁+x₂）a-x₁x₂①
对y=

1

4

x²求导得：y′=

1

2

x
∴抛物线上SR处的切线方程为
y-

1

4

x₁²=

1

2

x₁（x-x₁）即4y=2x₁x-x₁²②
y-

1

4

x₂²=

1

2

x₂（x-x₂）即4y=2x₂x-x₂²③
联立②③得

x= x1+x2 2 y= 1 4 x1 x2

代入①得：ax-2y-2b=0故：B点在直线ax-2y-2b=0上

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．