Question

已知数列的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意，满足关系.

（Ⅰ）证明：是等比数列；

（Ⅱ）在正数数列中，设，求数列中的最大项.

 

Answer 1

【答案】

(1)根据数列的定义，只要证明从第二项起，每一项与前面一项的比值为定值即可。(2)

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：∵ ①

∴ ② 

②－①，得

∵故数列是等比数列

（1）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），知S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*），所以a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*），由此可知a_n=2ⁿ．（n∈N^*）．

（2）令，∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）

∴n≥2且n∈N^*时，|lnc_n|是递减数列．又lnc₁＜lnc₂，∴数列|lnc_n|中的最大项为lnc₂=

考点：等比数列的概念和数列的单调性

点评：该试题属于常规试题，主要是根据已知的关系式，变形为关于通项公式之间的递推关系，加以证明，属于基础题。