Question

已知椭圆C的离心率为e=

6

3

，一条准线方程为x=

3 2

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设动点P满足：

OP

=

OM

+

ON

，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

3

，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，求A，B的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆C的离心率为e=

6

3

，一条准线方程为x=

3 2

2

，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（2）利用

OP

=

OM

+

ON

，直线OM与ON的斜率之积为-

1

3

，确定P的轨迹方程，即可求得结论．

解答：解：（1）设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆C的离心率为e=

6

3

，一条准线方程为x=

3 2

2

∴

c a = 6 3 a2 c = 3 2 2

，∴a=

3

，c=

2

，∴b=1
∴椭圆C的标准方程为

x2

3

+y2=1；                …．（4分）
（2）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由

OP

=

OM

+

ON

得x=x₁+x₂，y=y₁+y₂…（6分）
因为点M，N在椭圆

x2

3

+y2=1上，即x²+3y²=3，所以x12+3y12=3，x22+3y22=3…（8分）
故x2+3y2=(x1+x2)2+3(y1+y2)2=(x12+3y12)+(x22+3y22)+2(x1x2+3y1y2)=6+2（x₁x₂+3y₁y₂）…（10分）
设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOM•kON=

y1y2

x1x2

=-

1

3

，因此x₁x₂+3y₁y₂=0…（12分）
所以x²+3y²=6，即

x2

6

+

y2

2

=1…．（14分）
所以P点是椭圆

x2

6

+

y2

2

=1上的点，设该椭圆的左、右焦点为A，B，则由椭圆的定义|PA|+|PB|为定值，又因c=

6-2

=2，因此两焦点的坐标为A（-2，0），B（2，0）．                                    …（16分）

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查标准方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的标准方程是关键．