Question

已知函数y=sin2x+cos2x－2.
（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的图象;
（2）求这个函数的周期和单调区间;
（3）求函数图象的对称轴方程.
（4）说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的.

Answer 1

T==π，单调增区间为［－π+kπ+kπ］，k∈Z;，函数的单调减区间为［+kπ，π+kπ］，k∈Z

解: y=sin2x+cos2x－2=2sin（2x+）－2.
（1）列表

x	－			π	π
2x+	0		π	π	2π
y=2sin（2x+）－2	－2	0	－2	－4	－2

 其图象如下图所示.

（2）T==π.
由－+2kπ≤2x+≤+2kπ，知函数的单调增区间为［－π+kπ+kπ］，k∈Z;
由+2kπ≤2x+≤π+2kπ，知函数的单调减区间为［+kπ，π+kπ］，k∈Z.
（3）由2x+=+kπ得x=+π.
∴函数图象的对称轴方程为x=+π（k∈Z）.
（4）把函数y₁=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数y₂=sin（x+）的图象；
再把y₂图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y₃=sin（2x+）的图象；
再把y₃图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y₄=2sin（2x+）的图象；
最后把y₄图象上所有的点向下平移2个单位，得到函数y=2sin（2x+）－2的图象.
评注:（1）求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式.
（2）对于函数y=Asin（ωx+）的对称轴，实际上就是使函数y取得最大值或最小值时的x值.
（3）第（4）问的变换方法不唯一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序.