Question

（本小题16分）

已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．

（1）求a的值；

    （2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；

    （3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，得．由，得．

因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3． …………2分

再由，得    ．

由，故，即．

由b≥3，故，解得．  ………………………4分

于是，根据，可得．……………………6分

（2）由，对于任意的，均存在，使得，则

．

又，由数的整除性，得b是5的约数．

故，b=5．

所以b=5时，存在正自然数满足题意．………………………9分

（3）设数列中，成等比数列，由，，得

．

化简，得．     （※）  …………………11分

当时，时，等式（※）成立，而，不成立． ……………12分

当时，时，等式（※）成立．………………………………………13分

当时，，这与b≥3矛盾．

这时等式（※）不成立．…………………………………………14分

综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．……………………16分