Question

数列{a_n}是首项a₁=4的等比数列，s_n为其前n项和，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=log₂|a_n|，设T_n为数列{

1

bnbn+1

}的前n项和，求证T_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，先看当q=1时，S₃，S₂，S₄不成等差数列，不符合题意，判断出q≠1，进而根据等比数列求和公式表示出S₃，S₂，S₄，根据等差中项的性质建立等式，求得q，则数列{a_n}的通项公式可得．
（Ⅱ）把（1）中的a_n代入b_n=，进而利用裂项法求得前n项的和，根据Tn=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

.原式得证．

解答：解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q．
当q=1时，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差数列
∴q≠1，S3=

4(1-q3)

1-q

，S2=

4(1-q2)

1-q

，S4=

4(1-q4)

1-q

2S₂=S₃+S₄，
∴

8(1-q2)

1-q

=

4(1-q3)

1-q

+

4(1-q4)

1-q

，
即q⁴+q³-2q²=0．∵q≠0，q≠1，∴q=-2，
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹
（Ⅱ）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

.

点评：本题主要考查了数列的求和．应熟练掌握常用的数列求和的方法，如公式法，错位相减法，裂项法等．