Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，解不等式：f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)．

Answer 1

分析：利用函数为奇函数，结合已知不等式可以证出函数f（x）在[-1，1]上为增函数．由此将欲求解的不等式转化为-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1，解之即得不等式的解集．

解答：解：任取-1≤x₁＜x₂≤1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

•（x₁-x₂）
由已知得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，可得f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在[-1，1]上为增函数，
因此不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)等价于-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1
解此不等式，得：-

3

2

≤x＜-1，即原不等式的解集为[-

3

2

，-1）

点评：本题在已知函数单调性和为奇函数的前提下，解关于x的不等式，着重考查了函数的定义域、单调性和奇偶性等知识，属于基础题．