Question

【题目】已知圆C经过点，，且圆心在直线上

（1）求圆C的方程.

（2）过点的直线与圆C交于A，B两点，问：在直线上是否存在定点N，使得（，分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定点，使得恒成立

【解析】

（1）的垂直平分线与直线的交点就是圆心，求出圆心即可得到半径，圆的方程得解；

（2）设直线AB的方程为，联立直线与圆的方程，消去y整理得，根据建立等式，结合韦达定理求出定点，检验直线斜率为0和斜率不存在的情况.

（1）由题可知线段EF的中点为，EF的垂直平分线的斜率为5，

的垂直平分线的方程为.

EF的垂直平分线与直线l的交点即为圆心C，

由，解得，即.

又，

圆C的方程为.

（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，则过点的直线AB的方程为，由，消去y整理得.

设，，

，.（*）

设，则，.

，

，，

即，

将（*）式代入得，

解得故点N的坐标为.

当直线AB的斜率为0时，显然点可使成立.

当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，，，显然点N可使成立.

在直线上存在定点使得恒成立.