【题目】折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣．因
纸的长宽比
称为白银分割比例，故纸有一个白银矩形的美称．现有一张如图1所示的纸
，
．
分别为
的中点，将其按折痕
折起（如图2），使得
四点重合，重合后的点记为
，折得到一个如图3所示的三棱锥
．记
为
的中点，在
中，
为
边上的高．
（1）求证：
平面
；
（2）若
分别是棱
上的动点，且
．当三棱锥
的体积最大时，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）通过证明
，可得到
平面ACD；
（2）因为
且三棱锥
的高为定值，所以当
最大时，三棱锥
的体积取得最大值，由此可确定M，N 两点为AB，BC的中点，接着通过建立空间直角坐标系求解，可得到本题答案.
（1）连接
．设
，
则
，翻折后的
．
在
中，
，
，
为
的中点，
∴
．又∵在
中，
，
∴
为
的中点，∴．
∵
平面
，
平面，
∴平面．
（2）∵且三棱锥的高为定值，
∴最大时，三棱锥的体积取得最大值．
设
，所以
又∵
为定值，∴当
时，
最大，即三棱锥的体积最大．此时
分别是
上的中点，
由（1）可得
，
，∴
．
∵
，
，∴
．
以为坐标原点，
分别为
轴的正方向建立空间直角坐标系
，
则
，
，
．
设平面
的一个法向量为
．
∴
，∴
取
，则
，∴平面的一个法向量为
．
设平面
的一个法向量为
．
∴
，∴
取
，则
，
∴平面的一个法向量为
．
则
．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论:
①他第3次击中目标的概率是0.9;
②他恰好击中目标3次的概率是
;
③他至少击中目标1次的概率是
;
④他至多击中目标1次的概率是
其中正确结论的序号是（ ）
A.①②③B.①③
C.①④D.①②
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【题目】已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，上下顶点分别为
，
，左、右焦点分别为
，
，离心率为e.
（1）若
，设四边形
的面积为
，四边形
的面积为
，且
，求椭圆C的方程；
（2）若
，设直线
与椭圆C相交于P，Q两点，
分别为线段
，
的中点，坐标原点O在以MN为直径的圆上，且
，求实数k的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间
内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
（1）按分层抽样的方法从质量落在
，
的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有黄桃均以20元/千克收购；
B.低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
（参考数据：
）
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【题目】在平面直角坐标系
中,已知圆心在
轴上,半径为2的圆
位于
轴右侧,且与直线
相切.
(1)求圆的方程；
(2)在圆上,是否存在点
,使得直线
与圆
相交于不同的两点
,且
的面积最大？若存在,求出点
的坐标及对应的的面积；若不存在,请说明理由.
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【题目】某个命题与自然数n有关，如果当
（
）时该命题成立，则可得
时该命题也成立，若已知
时命题不成立，则下列说法正确的是______（填序号）
（1）
时，该命题不成立；
（2）
时，该命题不成立；
（3）
时，该命题可能成立；
（4）时，该命题可能成立也可能不成立，但若时命题成立，则对任意
，该命题都成立.
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【题目】下列四个命题中真命题是
A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行
B. 底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个
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