Question

（文）已知:函数f(x)=  (a>1) 

   （1） 证明：函数f(x)在(-1,+∞ )上为增函数；

   （2）证明方程f(x)=0没有负根．

 

Answer 1

【答案】

见解析。

【解析】(I)利用函数的单调性证明即可：第一步：取值，第二步作差比较，判断差值的符号，第三步得到结论.

（2）本小题不易直接证明可采用反证法，先假设方程有负根x₀ (x₀≠-1)，则有= -1,然后研究-1的值总是负值，所以得到矛盾，问题得证.

(文)证明：(1) 设-1<x_­1<x₂<+∞

f(x₁)-f(x₂) =- +  -  

=-+          （4）

 ∵  -1<x₁<x₂ ,a>0

 ∴  -<0     <0

 ∴  f(x₁)-f(x₂)<0  即  f(x₁)<f(x₂) ,函数f(x)在(-1,+∞ )上为增函数．       （6）

 (2)  若方程有负根x₀ (x₀≠-1)，则有= -1

   若  x₀<-1 ,  -1<-1   而 >0    故  ≠ -1           （10）

   若 -1<x₀<0 ,   -1>2    而 <a⁰=1   ≠ -1

综上所述，方程f(x)=0没有负根．                           （12）