Question

已知x+5y+3z=1，则x²+y²+z²的最小值为

 

．

Answer 1

分析：利用题中条件：“x+5y+3z=1”构造柯西不等式：（x²+y²+z²）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）²这个条件进行计算即可．

解答：证明：∵35=1+25+9，
∴35（x²+y²+z²）=（x²+y²+z²）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）²=1
可得：x²+y²+z²≥

1

35

，
即x²+y²+z²的最小值为

1

35

，
故答案为：

1

35

．

点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（x²+y²+z²）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）²．