Question

【题目】如图，在三棱锥中， ， ， 为的中点， 为的中点，且为正三角形．

（）求证： 平面．

（）若， ，求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：

（1）要证平面，只需证明与平面内的两条相交直线垂直，利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；

（2）解法一：通过，利用等体积法，即可求解点到平面的距离；

解法二：过点作直线的垂线，角的延长线于点，证明平面，说明为点到平面的距离，一是利用等面积求解，二是利用解直角三角形求解．

试题解析：

（）

证明：在正中， 是的中点，

∴，

∵是的中点， 是的中点，

∴，故，

又， ，

， 平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

又， ，

， 平面，

∴平面．

（）解法：设点到平面的距离为，

∵， 是的中点，

∴，

∵为正三角形，

∴．

∵， ，

∴，

∴，

∵．

由（）知，

∴，

在中， ，

∴，

∵，

∴，

即，

∴，

故点到平面的距离为．