Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为

2

3

，点M的横坐标为

9

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA的斜率为k₁，直线MA的斜率为k₂，求k₁•k₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知解得

a=3 c=2.

．由此可知椭圆C的标准方程为

x2

9

+

y2

5

=1．
（2）设点P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），点M(

9

2

，y2)，由点F、P、M三点共线，知点M(

9

2

，

13y1

2(x1+2)

)．k₁•k₂=

y1

x1-3

×

13y1

3(x1+2)

=

13y12

3(x1+2)(x1-3)

．由此可导出k₁•k₂的取值范围是(-∞，-

26

9

)．

解答：解：（1）由已知，得

c a = 2 3 a2 c = 9 2

（2分）
解得

a=3 c=2.

∴

a2=9 b2=5.

（4分）
∴椭圆C的标准方程为

x2

9

+

y2

5

=1；（6分）
（2）设点P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），
点M(

9

2

，y2)，∵点F、P、M三点共线，x₁≠-2，
∴

y1

x1+2

=

y2

13 2

，y2=

13y1

2(x1+2)

，∴点M(

9

2

，

13y1

2(x1+2)

)．（8分）
∵k1=

y1

x1-3

，k2=

13y1

3(x1+2)

，
∴k₁•k₂=

y1

x1-3

×

13y1

3(x1+2)

=

13y12

3(x1+2)(x1-3)

．（10分）
∵点P在椭圆C上，∴

x12

9

+

y12

5

=1，∴y12=-

5

9

(x12-9)．
∴k₁•k₂=

13×(- 5 9 )(x12-9)

3(x1+2)(x1-3)

=-

65

27

×

x1+3

x1+2

=-

65

27

×(1+

1

x1+2

)．（12分）
∵-2＜x₁＜3，∴k1•k2＜-

26

9

．∴k₁•k₂的取值范围是(-∞，-

26

9

)．（14分）

点评：本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．