Question

【题目】已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．

（Ⅰ）若垂直于轴，求直线的斜率；

（Ⅱ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）平行，理由见解析．

【解析】

（Ⅰ）根据题意可设，，求出AE的方程，令可求得M的坐标从而可得直线的斜率；（Ⅱ）当直线的斜率不存在时由可得；当直线的斜率存在时设，，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出、，化简可得，则.

（Ⅰ）因为过点且垂直于轴，所以可设，．

直线的方程为，

令，得，则，

所以直线的斜率．

（Ⅱ）直线与直线平行．证明如下：

①当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）可知．

又因为直线的斜率，所以，

②当直线的斜率存在时，设其方程为

设，，则直线的方程为．令，得点．

由，得，

所以，．

直线的斜率．

因为

，

所以．所以．

综上可知，直线与直线平行．