Question

【题目】在四棱锥中，平面，，，，，与平面所成的角是，是的中点，在线段上，且满足.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在满足条件的点，理由见解析.

【解析】

（1）首先根据与平面所成的角是得到，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据得到，.

再分别求出平面的法向量和平面的法向量，带入二面角公式即可.

（2）设，，利用向量法求出与平面所成角的正弦值，再解方程即可.

（1）因为平面，所以为与平面所成的角.

即，，所以.

以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

，，，，设.

，，

因为，所以，解得，.

设平面的法向量为，

又，.

所以，令，得到.

设平面的法向量为，

又，.

所以，令，得到.

所以.

又由图可知，该二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

（2）

因为，，设，.

所以，.

由（1）知平面的法向量为，

所以

又因为与平面所成角的余弦值是

所以其正弦值为，即

整理得：或（舍去）

所以存在满足条件的点，，.