Question

已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形．
（I） 求椭圆C₁的方程；
（II） 设点P是抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）与C₁的公共点，C₂在点P处的切线与C₁交于点另一点M．Q是P关于X轴的对称点，问中否存在h使点Q在以PM为直径的圆上．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆C₁：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C₁的方程；
（II）假设存在h使点Q在以PM为直径的圆上，利用，，即可求得结论．
解答：解：（I）由题意，∵椭圆C₁：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形
∴b=1，2•=1
∴a=2，b=1
∴所求的椭圆方程为，
（II）不妨设P（t，t²+h），M（x，y），则（t²+h）²+4t²-4=0（1）
假设存在h使点Q在以PM为直径的圆上，则
∵
∴M（-t，-t²-h），∴2t=
∴h=t²＞0
代入（1）得h²+h-1=0
∴h=  
∴存在h=，使点Q在以PM为直径的圆上．
点评：本题考查椭圆的标准方程与椭圆的几何性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，求得椭圆的方程是关键．