Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．数列{b_n}的前n项和为T_n，满足T_n=1-b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）写出一个正整数m，使得是数列{b_n}的项；
（3）设数列{c_n}的通项公式为，问：是否存在正整数t和k（k≥3），使得c₁，c₂，c_k成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对（t，k）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由已知，有，…（2分）
解得a₁=1，d=2，…（3分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（n∈N^*）．…（4分）
（2）当n=1时，b₁=T₁=1-b₁，所以．…（1分）
由T_n=1-b_n，得T_n+1=1-b_n+1，两式相减，得b_n+1=b_n-b_n+1，
故，…（2分）
所以，{b_n}是首项为，公比为的等比数列，所以．…（3分）
，…（4分）
要使是{b_n}中的项，只要m+4=2ⁿ即可，可取m=4．…（6分）
（3）由（1）知，，…（1分）
要使c₁，c₂，c_k成等差数列，必须2c₂=c₁+c_k，即，…（2分）
化简得．…（3分）
因为k与t都是正整数，所以t只能取2，3，5．…（4分）
当t=2时，k=7；当t=3时，k=5；当t=5时，k=4．…（5分）
综上可知，存在符合条件的正整数t和k，所有符合条件的有序整数对（t，k）为：（2，7），（3，5），（5，4）．…（6分）
分析：（1）由已知条件可得数列的首项和公差，进而可得其通项；
（2）由已知可求得{b_n}的通项，只要m+4=2ⁿ即可，写出一个满足条件的即可；
（3）可得c_n，由c₁，c₂，c_k成等差数列，可得关于正整数t和k的式子，取整数验证即可．
点评：本题考查等差数列，等比数列的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．