Question

规定，其中x∈R，m是正整数，且=1，这是组合数（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广，
（1）求的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：①；②，
是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2），
因为，
当且仅当时，等号成立，
∴当时，取得最小值。
（3）性质（1）不能推广。 例如当时，有定义，但无意义；
性质（2）能推广，它的推广形式是，m是正整数，
事实上
当m=1时，有；
当m≥2时，


，
[证明]（3）当x≥m时，组合数，
当0≤x＜m时，，
当x＜0时，∵-x+m-1＞0，
∴
。