Question

设动点P到点A（-1，0）和B（1，0）的距离分别为d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定λ的范围，使

OM

•

ON

=0，其中点O为坐标原点．

Answer 1

分析：（1）首先利用余弦定理写出d₁和d₂的等量关系式，然后把它变形为（d₁-d₂）²=*的形式，即|d₁-d₂|=*的形式，此时满足双曲线的定义，则问题得证，最后由双曲线的标准方程形式即可写出其方程．
（2）首先根据直线MN是否垂直于x轴进行讨论，若直线MN垂直于x轴，则直线方程为x=1，又

OM

•

ON

=0可得M、N的坐标，代入双曲线方程即得λ的值；若直线MN不垂直于x轴，则设其点斜式方程，并与双曲线方程联立方程组，可消y得x的一元二次方程，再由根与系数的关系用k与λ的代数式表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而由

OM

•

ON

=0及x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0通过整理消去k得到λ的不等式，此时解不等式即可，最后把两种情况综合之．

解答：（1）证明：在△PAB中，|AB|=2，即2²=d₁²+d₂²-2d₁d₂cos2θ，4=（d₁-d₂）²+4d₁d₂sin²θ，
即|d1-d2|=

4-4d1d2sin2θ

=2

1-λ

＜2（常数），
所以点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长2a=2

1-λ

的双曲线．
又b²=1-（1-λ），所以C的方程为：

x2

1-λ

-

y2

λ

=1．

（2）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，M（1，1），N（1，-1）在双曲线上．
即

1

1-λ

-

1

λ

=1?λ2+λ-1=0?λ=

-1± 5

2

，因为0＜λ＜1，所以λ=

5 -1

2

．
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）．
由

x2 1-λ - y2 λ =1 y=k(x-1)

得：[λ-（1-λ）k²]x²+2（1-λ）k²x-（1-λ）（k²+λ）=0，
由题意知：[λ-（1-λ）k²]≠0，
所以x1+x2=

-2k2(1-λ)

λ-(1-λ)k2

，x1x2=

-(1-λ)(k2+λ)

λ-(1-λ)k2

．
于是：y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=

k2λ2

λ-(1-λ)k2

．
因为

OM

•

ON

=0，且M，N在双曲线右支上，所以

x1x2+y1y2=0 x1+x2＞0 x1x2＞0

?

k2= λ(1-λ) λ2+λ-1 k2＞ λ 1-λ

?

λ(1-λ) λ2+λ-1 ＞ λ 1-λ λ2+λ-1＞0

?

5 -1

2

＜λ＜

2

3

．
由①②知，λ的取值范围是：

5 -1

2

≤λ＜

2

3

．

点评：本题考查双曲线的定义、标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算量大，且需分类讨论．