Question

设函数f（x）=

1             (x≤ 3 ) 4-x2 ( 3 ＜x＜2) 0              (x≥2)

，则

∫

2010 -1

f（x）dx的值为

π

3

+

2+ 3

2

．

Answer 1

分析：题目给出的是分段函数，求其积分时，分成3段，两个常数函数f（x）=0和f（x）=1的原函数分别为y=x和y=0，求函数f（x）=

4-x2

在（

3

，2）上的积分，可借助于其几何意义，
求圆x²+y²=4被直线x=

3

，x=2和x轴所截得的第一象限内的曲面面积．

解答：解：

∫

2010 -1

f(x)dx

=∫

3 -1

f(x)dx

+∫

2 3

f(x)dx

+∫

2010 2

f(x)dx
=

∫

3 -1

1•dx+

∫

2 3

4-x2

dx+

∫

2010 2

0•dx=x

|

3 -1

+（

1

2

×

π

3

×2-

1

2

×

3

×1）+（c-c）=（

3

+1)+（

π

3

-

3

2

）
=

π

3

+

3

2

+1=

π

3

+

2+ 3

2

．
故答案为

π

3

+

2+ 3

2

．

点评：本题考查了分段函数的定积分，解答的关键是，当被积函数为分段函数时，也需函数的定义的分段情形相应的逐段积分．