Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），若对于任意nÎN^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”．
（1）若函数f（x）=确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）在（1）条件下，记为正数数列{x_n}的调和平均数，若d_n=，S_n为数列{d_n}的前n项之和，H_n为数列{S_n}的调和平均数，求；
（3）已知正数数列{c_n}的前n项之和．求T_n表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x），根据b_n=f^-1（n）可求出p，即可求出a_n；
（2）先求出d_n，然后求出s_n，根据H_n为数列{S_n}的调和平均数，可求出H_n的关系式，从而求出；
（3）先根据正数数列{c_n}的前n项之和求出c₁，当n≥2时，c_n=T_n-T_n-1，所以T_n²-T_n-1²=n，然后利用叠加法求出T_n表达式即可．
解答：解：（1）由题意的：f^-1（x）==f（x）=，所以p=-1，（2分）
所以a_n=（3分）
（2）a_n=，，（4分）
s_n为数列{d_n}的前n项和，，（5分）
又H_n为数列{S_n}的调和平均数，
所以（8分）
（10分）
（3）因为正数数列{c_n}的前n项之和
所以解之得：c₁=1，T₁=1（11分）
当n≥2时，c_n=T_n-T_n-1，所以
即T_n²-T_n-1²=n（14分）
所以，T₂^n-1-T₂^n-2=n-1，T₂^n-2-T₂^n-3=n-2，…T₂²-T₁²=2累加得：
T_n²-T₁²=2+3+4+…+n₂（16分）
，（18分）
点评：本题主要考查了反函数以及数列与函数的综合问题，同时考查了数列的求和以及累加法，属于难题．