Question

如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面都是正方形，D为底边AB中点，E为侧棱CC₁中点，AB₁与A₁B交于点O。
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；    
（Ⅱ）求证：平面AB₁C⊥平面A₁EB。

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵ 棱柱的每个侧面为正方形， 
∴，
∴三棱柱为正三棱柱，      
连结OD，
∵D为AB中点，O为对面线AB₁，A₁B交点，
∴OD∥BB₁，    
又E为CC₁中点，
∴EC∥BB₁，
OD∥EC，
∴DCEO为平行四边形，CD∥EO，
又CD平面A₁EB，EO平面A₁EB， 
∴CD∥平面A₁EB。
（Ⅱ）∵AB=AC=CB，    
∴CD⊥AB，
又直棱柱侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，CD⊥AB₁，
由（Ⅰ）CD∥EO，
∴EO⊥AB₁，
又正方形中，A₁B⊥AB₁，
EO∩A₁B=O，EO、A₁B平面A₁EB，
∴AB₁⊥平面A₁EB，            
又AB₁平面AB₁C，
∴平面A₁EB⊥平面AB₁C。