Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，若x₁＜1＜x₂，则（x₁+x₂）²+x₁²x₂²的取值范围是（　　）

• A．（5，+∞）
• B．（1，+∞）
• C．(

  1

  2

  ，+∞)
• D．(

  1

  4

  ，+∞)

Answer 1

分析：利用一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．由于x₁＜1＜x₂，可得（x₂-1）（1-x₁）＞0，化为-x₁x₂+x₁+x₂-1＞0．代入可得

-b

a

+

-c

a

＞1．则（x₁+x₂）²+x₁²x₂²=

b2

a2

+

c2

a2

．利用不等式2（m²+n²）≥（m+n）²即可得出．

解答：解：∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，且x₁≠x₂．
∴△=b²-4ac＞0．∴b²＞4ac．
∴x1+x2=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
∵x₁＜1＜x₂，∴（x₂-1）（1-x₁）＞0，化为-x₁x₂+x₁+x₂-1＞0．
∴-

c

a

-

b

a

-1＞0，可得

-b

a

+

-c

a

＞1．
则（x₁+x₂）²+x₁²x₂²=

b2

a2

+

c2

a2

≥

1

2

(

-b

a

+

-c

a

)2＞

1

2

．
∴（x₁+x₂）²+x₁²x₂²的取值范围是(

1

2

，+∞)．
故选C．

点评：熟练掌握一元二次不等式的根与系数的关系、基本不等式的性质及其变形应用是解题的关键．