Question

如图，的大小是大小的k倍，的方向由的方向逆时针旋转θ角得到，则我们称经过一次（θ，k）延伸得到． 已知
（1）向量经过2次延伸，分别得到向量、，求、的坐标．
（2）向量经过n-1次延伸得到的最后一个向量
为，（n∈N^*，n＞1），设点A_n（x_n，y_n），求A_n的极限位置
（3）向量经过2次（θ，k）延伸得到向量、，其中k＞0，θ∈（0，π），若、、恰能够构成一个三角形（即A₃与O重合），求θ，k的值．

Answer 1

解：（1），
（2），，，…
因为
所以，
所以，A
（3），
又∵
∴（1+kcosθ+k²cos2θ，ksinθ+k²sin2θ）=（0，0）
∴
解得：k=1，θ=120°
分析：（1）向量经过1次延伸，得到向量 所在有向线段正向与y轴正向相同，且模为，A2（1，），，类似的，求出
（2），利用向量运算求出表达式，得出x_n，y_n再求极限．
（3）若、、恰能够构成一个三角形，即，建立关于的方程组，再解方程组即可．
点评：本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，极限运算，方程的思想．