Question

已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10，在数列{b_n}中，b₁=1，bn=2bn-1(n≥2，n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

bn

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，根据题意建立关于a₁、d的方程组解出a₁、d的值，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由等比数列的通项公式，结合题意算出bn=2n-1，从而得出{

an

bn

}前n项和含有省略号的表达式，再利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式加以计算，即可得到数列{

an

bn

}的前n项和Sn=

n

2n-1

．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，可得
∵a₂=0，a₆+a₈=-10，
∴

a1+d=0 2a1+12d=-10

，解之得

a1=1 d=-1.

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=1+（n-1）×（-1）=2-n．
（2）∵数列{b_n}中，b₁=1，bn=2bn-1(n≥2，n∈N*)．
∴

bn

bn-1

=2，可得数列{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．
因此，数列{b_n}的通项公式为bn=1×2n-1=2n-1．
设数列

an

bn

的前n项和为S_n，即Sn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

，
当n≥2时，

Sn

2

=

a1

2

+

a2

4

+…+

an

2n

．
∴利用错位相减可得：

Sn

2

=a1+

a2-a1

2

+…+

an-an-1

2n-1

-

an

2n

=1-(

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

-

2-n

2n

)=1-(1-

1

2n-1

)-

2-n

2n

=

n

2n

．
由此可得Sn=

n

2n-1

，n=1时S₁=1也符合．
综上所述，数列{

an

bn

}的前n项和是Sn=

n

2n-1

．

点评：本题给出等差、等比数列满足的条件，求它们的通项公式，并求数列{

an

bn

}的前n项和．着重考查了等差等比数列的通项公式、错位相减法求和和等比数列的前n项和公式等知识，属于中档题．