Question

关于函数f(x)=4cos(2x+

π

3

)，x∈R有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）与y=4sin(2x-

π

6

)是同一函数；
③y=f（x）的图象关于点(-

π

6

，0)对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称；
⑤f(x+

π

6

)=f(x-

5π

6

)．
其中正确命题的序号是

④⑤

．（注：多选少选均不给分）

Answer 1

分析：求出函数的周期判断①不正确，利用诱导公式化简f（x）可得②不正确，求出函数的对称中心判定③不正确，根据对称轴的定义可得f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，故④正确，
利用诱导公式分别化简f(x+

π

6

)和f(x-

5π

6

)，可得f(x+

π

6

)=f(x-

5π

6

)，⑤正确．

解答：解：对于函数 f(x)=4cos(2x+

π

3

)，x∈R，它的周期等于

2π

2

=π，
①由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必是半个周期

π

2

的整数，故①不正确．
②f（x）=4cos（2x+

π

3

）=4sin（

π

2

-2x-

π

3

）=-4sin（2x+

π

3

-

π

2

）=4sin（2x-

π

6

），故②不正确．
③由2x+

π

3

=kπ+当x=-

π

6

时，函数f（x）=4≠0，故f（x）的图象不关于点(-

π

6

，0)对称，故③不正确．
④当x=-

π

6

时，函数f（x）=4，是函数的最大值，故f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，故④正确．
⑤∵f(x+

π

6

)=4cos[2(x+

π

6

)+

π

3

]=4cos（2x+

2π

3

），f(x-

5π

6

)=4cos[2（x-

5π

6

）+

π

3

]=
4cos（2x-

4π

3

）=4cos（2x+

2π

3

），故f(x+

π

6

)=f(x-

5π

6

)，故⑤正确．
故答案为：④⑤．

点评：本题考查正弦函数的性质，考查基本概念，基本知识的理解掌握程度，是基础题．