Question

已知角α∈（0，π），向量

m

=(2 ， cosα)，

n

=(cos2α ， 1 )，且

m

•

n

=1，f(x)=

3

sinx+cosx．
（Ⅰ）求角α的大小；（Ⅱ）求函数f（x+α）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据

m

•

n

=1把

m

和

n

代入即可求得cosα，进而求得α的值．
（Ⅱ）先对函数f（x）化简整理得f(x)=2sin(x+

π

6

)，把x=α代入f（x+α）再根据正弦函数的单调性即可得到函数f（x+α）的单调递减区间．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(2 ， cosα)，

n

=(cos2α ， 1 )，且

m

•

n

=1，
∴2cos²α+cosα=1即2cos²α+cosα-1=0
∴cosα=

1

2

或cosα=-1，
∵角α∈（0，π），∴cosα=

1

2

?α=

π

3

，
（Ⅱ）∵f(x)=

3

sinx+cosx=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=2sin(x+

π

6

)
∴f(x+α)=f(x+

π

3

)=2sin(x+

π

6

+

π

3

)=2sin(x+

π

2

)=2cosx
∴函数f（x+α）的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]k∈Z

点评：本题主要考查正弦函数的单调性和向量的基本运算．考查了学生综合运用所学知识的能力．