Question

【题目】如图1，在高为2的梯形ABCD中，，，，过A、B分别作，，垂足分别为E、已知，将D、C沿AE、BF折向同侧，得空间几何体，如图2．

若，求证：；

若，线段AB的中点是P，求CP与平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2，取BE与AF的交点为O，推导出，，从而平面BDE，进而，再由，得平面ABEF，从而．

以E为原点，EA为x轴，EF为y轴，ED为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CP与平面ACD所成角的正弦值．

证明：由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2

在图2中，取BE与AF的交点为O，则，

由已知得，，平面BDE，

又平面BDE，，

又，，平面ABEF，

又平面ABEF，．

解：以E为原点，EA为x轴，EF为y轴，ED为z轴，

建立空间直角坐标系，

2，，1，，0，，

0，，

，0，，2，，

设平面ACD的法向量y，，

则，

取，得，

设CP与平面ACD所成角为．

则．

与平面ACD所成角的正弦值为．