Question

已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=

2

时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．
（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得．
（3）设P（2m，m），MP的中点Q(m，

m

2

+1)，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．

解答：解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）²+（m-2）²=4，
解之得：m=0，m=

4

5

，
故所求点P的坐标为P（0，0）或P(

8

5

，

4

5

)．
（2）设直线CD的方程为：y-1=k（x-2），易知k存在，
由题知圆心M到直线CD的距离为

2

2

，所以

2

2

=

|-2k-1|

1+k2

，
解得，k=-1或k=-

1

7

，故所求直线CD的方程为：x+y-3=0或x+7y-9=0．
（3）设P（2m，m），MP的中点Q(m，

m

2

+1)，
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x-m)2+(y-

m

2

-1)2=m2+(

m

2

-1)2
化简得：x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，
故x²+y²-2y=0且（2x+y-2）=0，
解得

x=0 y=2

或

x= 4 5 y= 2 5

所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（

4

5

，

2

5

）．

点评：本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．