Question

已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=-1上的射影为点N，且满足(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k₁，k₂，当k₁，k₂变化且满足k₁+k₂=-1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出动点P的坐标，求出N点的坐标，再求出向量

PN

，

NF

，然后代入(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0整理即可得到点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出点A，B的坐标，写出直线MA，MB的方程，和抛物线联立后利用根与系数关系求出A点和B点的纵坐标，然后求出两纵坐标的和与积，然后由直线方程的两点式写出AB的直线方程，把两纵坐标的和与积代入直线方程后，利用直线系方程的知识可求出直线AB经过的定点．

解答：解：（Ⅰ）设曲线C上任意一点P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），
从而

PN

=(-1-x，0)，

NF

=(2，-y)，
则

PN

+

1

2

NF

=(-1-x，0)+

1

2

(2，-y)=(-x，-

1

2

y)，
由(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0，得(-x，-

1

2

y)•(2，-y)=0，
即-2x+

1

2

y2=0．
化简得y²=4x，即为所求的P点的轨迹C的对应的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
MA：y=k₁（x-1）+2，
MB：y=k₂（x-1）+2．
将y=k₁（x-1）+2与y²=4x联立，得：k1y2-4y-4k1+8=0
由y1+2=

4

k1

，得y1=

4

k1

-2①
同理 y2=

4

k2

-2②
而AB直线方程为：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
即y=

4

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

③
由①②：y₁+y₂=

4

k1

-2+

4

k2

-2=

4(k1+k2)

k1k2

-4=

-4

k1k2

-4
y1y2=4(

4

k1k2

-

2(k1+k2)

k1k2

+1)=4(

6

k1k2

+1)
代入③得，y=

4

-4 k1k2 -4

x+

24 k1k2 +4

-4 k1k2 -4

，
整理得k₁k₂（x+y+1）+6+y=0．
则

x+y+1=0 y+6=0

⇒

x=5 y=-6

，故直线AB经过定点（5，-6）．

点评：本题考查了抛物线的方程，考查了直线与抛物线的综合，训练了一元二次方程的根与系数关系，考查了直线系方程，此题是有一定难度题目．