Question

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1＝pc_n＋q对于任意n∈NN*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．

(1)若a_n＝2n，b_n＝3·2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；

(2)证明：若数列{a_n}是“M类数列”，则数列{a_n＋a_n+1}也是“M类数列”；

(3)若数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋a_n+1＝3t·2ⁿ(n∈N^*)，t为常数．求数列{a_n}前2009项的和．并判断{a_n}是否为“M类数列”，说明理由；

(4)根据对(2)(3)问题的研究，对数列{a_n}的相邻两项a_n、a_n+1，提出一个条件或结论与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假．

Answer 1

答案：
解析：

解：1)因为an＝2n则有an+1＝an＋2，n∈N* 　　故数列{an}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2　　2分 　　因为bn＝3·2n，则有bn+1＝2bn　n∈N* 　　故数列{bn}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0　　4分 　　(2)证明：若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q， 　　使得an+1＝pan＋q对于任意n∈N*都成立， 　　且有an+2＝pan+1＋q对于任意n∈N*都成立　　6分 　　因此(an+1＋an+2)＝p(an＋an+1)＋2q对于任意n∈N*都成立， 　　故数列(an＋an+1)也是“M类数列”　　8分 　　对应的实常数分别为p，2q　　9分 　　(3)因为an＋an+1＝3t·2n(n∈N*)则有a2＋a3＝3t·22，a4＋a5＝3t·24……， 　　a2006＋a2007＝3t·22006，a2008＋a2009＝3t·22008 　　故数列{an}前2009项的和 　　S2009＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋……＋(a2006＋a2007)＋(a2008＋a2009) 　　＝2＋3t·22＋3t·24＋……＋3t·22006＋3t·22008＝2＋t(22010－4)　　11分 　　若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q 　　使得an+1＝pan＋q对于任意n∈N*都成立， 　　且有an+2＝pan+1＋q对于任意n∈N*都成立， 　　因此(an+1＋an+2)＝p(an＋an+1)＋2q对于任意n∈N*都成立， 　　而an＋an+1＝3t·2n(n∈N*)，且an＋an+1＝3t·2n(n∈N*) 　　则有3t·2n+1＝3t·p2n＋2q对于任意n∈N*都成立，可以得到t(p－2)＝0，q＝0， 　　(1)当p＝2，q＝0时，an+1＝2an，an＝2n，t＝1，经检验满足条件． 　　(2)当t＝0，q＝0时，an+1＝－an，an＝2(－1)n－1，p＝－1经检验满足条件． 　　因此当且仅当t＝1或t＝0，时，数列{an}也是“M类数列”．对应的实常数分别为2，0，或－1，0　　14分 　　(4)命题一：若数列{an}是“M类数列”，则数列{an－an+1}也是“M类数列”． 　　逆命题：若数列{an－an+1}是“M类数列”，则数列{an}也是“M类数列”． 　　当且仅当数列{an－an+1}是常数列、等比数列时，逆命题是正确的． 　　命题二：若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an+1}、{an－an+1}、{an·an+1}、是“M类数列” 　　逆命题：若数列是“M类数列”则数列{an}是等比数列．逆命题是正确的． 　　命题三：若数列{an}是“M类数列”，则有． 　　逆命题：若，则数列{an}是“M类数列” 　　(1)若时逆命题是正确的． 　　(2)若时逆命题是正确的． 　　(命题给出2分，逆命题写出2分，说明逆命题真假2分)