Question

已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。

（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；

（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。

Answer 1

解：（I）∵f(x)+2x>0的解集为（1，3），

∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而

f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a.       ①

由方程f(x)+6a=0得

ax²-(2+4a)x+9a=0.                      ②

因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)]²-4a?9a=0,

即    5a²-4a-1=0.              解得   a=1或a=-.

由于a<0，舍去a=1.将a=-代入①得f(x)的解析式          f(x)=-x²-x-.

(II)由f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a

=a(x-)²-

及a<0，可得f(x)的最大值为-.

由

解得    a<-2-或-2+<a<0.

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2-)∪(-2+,0).