Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，E，F分别是D₁B，AD的中点，cos＜

DD1

，

CE

＞=

3

3

（1）以D为坐标原点，建立适当的坐标系，求出E点的坐标；
（2）证明：EF是异面直线D₁B与AD的公垂线；
（3）求二面角D₁-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设D₁（0，0，2m）（m＞0），由cos＜

CE

，

DD1

＞=

3

3

构造关于m的方程，可求出E点的坐标；
（2）分别求出向量

BD1

，

EF

，

AD

的向量坐标，进而利用向量垂直的充要条件，可证得

BD1

⊥

EF

，

EF

⊥

AD

，进而由E∈D₁B，F∈AD可得EF是AD与D₁B的公垂线
（3）求出平面FD₁B的一个法向量

n

，结合向量

DD1

为底面的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角D₁-BF-C的余弦值．

解答：解：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）．
设D₁（0，0，2m）（m＞0），则E（1，1，m）．
∵

CE

=（1，-1，m），

DD1

=（0，0，2m）
∴cos＜

CE

，

DD1

＞=

2m2

2+m2•2m

=

2m2

2+m2 •2m

=

3

3

解得m=1
故E点坐标为（1，1，1）
证明：（2）由（I）可知，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为2的正方体．
又∵FD=1，
∴F（1，0，0），
∴

BD1

=（-2，-2，2），

EF

=（0，-1，-1），

AD

=（-2，0，0）
∴

BD1

•

EF

=0+2-2=0，

EF

•

AD

=0+0+0=0
∴

BD1

⊥

EF

，

EF

⊥

AD

 
又∵E∈D₁B，F∈AD
∴故EF是AD与D₁B的公垂线
解：（3）设

n

⊥平面FD₁B，

n

=（x，y，z）
∴

n ⊥ D1F n ⊥ FB

，则

n • D1F =0 n • FB =0

又∵

D1F

=（1，0，-2），

FB

=（1，2，0）
∴

x-2z=0 x+2y=0

令z=1，则

n

=（2，-1，1）
则

DD1

与

n

所成角θ等于二面角D₁-FB-C的平面角，
cosθ=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

6 •2

=

6

6

∴二面角D₁-BF-C的余弦值为

6

6

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，空间坐标系，线线垂直的充要条件，其中建立空间坐标系，将二面角问题和直线垂直问题转化为向量夹角和向量垂直问题是解答的关键．