Question

设函数f（x）=px-

q

x

-2lnx，且f（e）=pe-

q

e

-2，（其中e=2.1828…是自然对数的底数）．
（1）求p与q的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（3）设g(x)=

2e

x

，若在[1，e]上存在实数x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意f（x）=px-

q

x

-2lnx，且f（e）=pe-

q

e

-2，将其移项通分就可以看出来了；
（2）首先求出函数的导数f′（x），因为f（x）在其定义域内为单调函数，说明导数恒大于或小于0，从而求出p的取值范围；
（3）先假设存在，因为设g(x)=

2e

x

，若在[1，e]上存在实数x₀，使得f（x₀）＞g（x₀），在区间[1，e]上分别求出f（x）和g（x）的最大值和最小值，然后讨论求解．

解答：解：（1）∵f（e）=pe-

q

e

-2，
∴（p-q）e=

q-p

e

，∴p-q=0，
∴p=q；
（2）f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
?p≥

2

x

•

x2

x2+1

=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

或p≤

2

x+ 1 x

?p≥1或p≤0；
（3）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是减函数
∴x=e时，g（x）_min=2；
x=1时，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①p≤0时，由（2）知f（x）在[1，e]递减?f_max（x）=f（1）=0＜2，不合题意
②0＜p＜1时，由x∈[1，e]?x-

1

x

∈[0，e-

1

e

]
∴f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx＜x-

1

x

-2lnx＜e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2，不合题意
③p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，故只需f（x）_max＞g（x）_min=2，
x∈[1，e]而f(x)max=f(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g(x)min=2
由

p(e- 1 e )-2lne＞2 p≥1

，解得p＞

4e

e2-1

，故p的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

点评：此题主要考查对数函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．