Question

设函数f(x)=

1+x

1-x

e-ax
（1）写出定义域及f′（x）的解析式
（2）设a＞0，讨论函数y=f（x）的单调性；
（3）若对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据分式函数的分母不等于0可求出函数的定义域，然后根据分式函数的导数运算法则可求出f′（x）的解析式；
（2）讨论a与2的大小，然后根据导数符号可得函数的单调性；
（3）讨论a与0和2的大小，根据函数的单调性求出函数的最值，然后判定是否满足对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，从而求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵x-1≠0∴f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
f′(x)=

(e-ax-ae-ax)(1-x)+(1+x)e-ax

(1-x)2

=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax（3分）
（2）①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上为增函数（4分）
②当a＞2，由f′（x）＞0得ax2+2-a＞0，x＞

a-2 a

或x＜-

a-2 a

∴f(x)在(-∞，-

a-2 a

)，(

a-2 a

，1)，(1，+∞)上为增函数，在(-

a-2 a

，

a-2 a

)上是减函数（7分）
（2）①当0＜a≤2时，由（1）知，对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞f（0）=1（8分）
②当a＞2时，由（1）知，f（x）在(0，

a-2 a

)上是减函数，在(

a-2 a ，1

)上是增函数，
取x0=

1

2

a-2 a

∈(0，1)，则f（x₀）＜f（0）=1（10分）
③当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有

1+x

1-x

＞1且e^-ax≥1，得f(x)=

1+x

1-x

e-ax＞1（11分）
综上当且仅当a∈（-∞，2]时，若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1成立．     （12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的定义域及其导函数的求法，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．