Question

（2012•黄浦区二模）已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l₁过点F与曲线C交于A、B两个不同点，求证：

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

2

；
（3）记

OA

与

OB

的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的最小值．

Answer 1

分析：（1）确定向量的坐标，利用

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，得

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，由此可求曲线C的方程；
（2）设直线l₁的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

，即可证得结论；
（3）确定

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），利用cosθ=

OA • OB

| OA || OB |

，可求cosθ的取值范围．

解答：（1）解：设动点P（x，y）．依据题意，可得
Q(-2，y)，

FQ

=(-4，y)，

PF

=(2-x，-y)，

PQ

=(-2-x，0)．　　　　（3分）
又

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，
于是，

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，即y²=8x（x≥0）．　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）
因此，所求动点P的轨迹方程为C：y²=8x（x≥0）．
（2）证明：∵直线l₁过F点且与曲线C交于不同的A、B两点，
∴l₁的斜率不为零，故设l₁：x=my+2．                       　　　　　　　　　   （7分）
联立方程组

y2=8x x=my+2

得y²-8my-16=0．（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y1+y2=8m y1y2=-16

，进一步得

x1+x2=8m2+4 x1x2=4.

（10分）
又∵曲线C：y²=8x（x≥0）的准线为：x=-2，
∴左边=

1

|FA|

+

1

|FB|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

=

4+x1+x2

x1x2+2(x1+x2)+4

=

1

2

=右边．　　　　　　　　　　　　（12分）
∴

1

|FA|

+

1

|FB|

=

1

2

．证毕！
（3）解：由（2）可知，

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
∴cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

x1x2+y1y2

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

=

-12

x 2 1 +8x1 • x 2 2 +8x2

=

-6

100+64m2

≥-

3

5

（当且仅当m=0时，等号成立）．　　　　　（16分）
∴(cosθ)min=-

3

5

．                                                              （18分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题．