Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a＞0）．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）及f（x）的导数f′（x）；
（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f^-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实
数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）、设y=ln（e^x+a），a＞0，把y看作常数，解出x后把x，y互换就得到函数y=f（x）的反函数f^-1（x）．再由复合函数的求解法则解出f（x）的导数f′（x）．
（2）、由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．再通过导数运算和函数的单调性求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）、设y=ln（e^x+a），a＞0，则e^y=e^x+a，∴e^x=e^y-a，a＞0，∴x=ln（e^y-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数f^-1（x）=ln（e^x-a），x∈R；f′（x）=．
（2）、由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．
设ϕ（x）=ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x，ψ（x）=ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x，
于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于ϕ（x）＜m＜ψ（x）．
由，注意到0＜e^x-a＜e^x＜e^x+a，故有ϕ'（x）＞0，ψ'（x）＞0，从而可ϕ（x）与ϕ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增，因此不等式ϕ（x）＜m＜ψ（x）成立当且仅当ϕ（ln（4a））＜m＜ψ（ln（3a））．即
点评：本题是对数函数、反函数和导数的综合应用题，考查反函数和复合函数的求导，具有一定的难度．在解题时要注意转化思想的灵活运用．