Question

若函数f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x＜0使得f′（x）=-9，求实数a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导函数f′（x）的图象过原点，化简函数，进而可求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，再分离参数，利用基本不等式，即可求得实数a的最大值．

解答：解：f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a，求导数，可得f′（x）=x²-（a+1）x+b，…（1分）
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．…（3分）
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

3

x3-x2+1，f′（x）=x（x-2），
∴f（3）=1，f′（3）=3．…（5分）
∴函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3），…（6分）
即3x-y-8=0．…（7分）
（Ⅱ）∵存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
∴-a-1=-x-

9

x

=(-x)+(-

9

x

)≥2

(-x)×(- 9 x

)=6，
∴a≤-7，…（10分）
当且仅当x=-3时，a=-7．                                       …（12分）
∴a的最大值为-7．                                           …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查分离参数，基本不等式的运用，解题的关键是正确求出导函数，属于中档题．